已知a为常数,a∈R,函数f(x)=(x-1)㏑x ,g(x)= -1/3·x^3+(2-a)/2·x^2+(a-1)·x,令h(x)=f(x)+g(x),证明:当a≤2时,函数h(x)在区间(0,1]上是单调函数
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已知a为常数,a∈R,函数f(x)=(x-1)㏑x ,g(x)= -(1/3)x³+[(2-a)/2]x²+(a-1)x,令h(x)=f(x)+g(x),
证明：当a≤2时,函数h(x)在区间(0,1]上是单调函数
证明：h(x)=(x-1)lnx-(1/3)x³+[(2-a)/2]x²+(a-1)x
h'(x)=lnx+(x-1)/x-x²+(2-a)x+a-1=lnx-(1/x)+(2-a)x+a
当a≤2时,设0h'(x₁)-h'(x₂)=lnx₁-(1/x₁)+(2-a)x₁+a-[lnx₂-(1/x₂)+(2-a)x₂+a]
=ln(x₁/x₂)-[(1/x₁)+(1/x₂)]+(2-a)(x₁-x₂)【这是因为：00,x₁-x₂故在区间(0,1]内导函数h'(x)是一个单调增加的函数；maxh'(x)=h'(1)=-1+2-a+a-1=0；
于是可知：当0