【欧氏空间】数学上的欧式空间是什么意思?

网友回答

【答案】 设V是一个非空集合,P是一个数域,在集合V的元素之间定义一种代数运算,叫做加法；这就是说,给出了一个法则,对于V中任意两个元素＠和＃,在V中都有唯一的一个元素＄与他们对应,称为＠与＃的和,记为＄＝＠＋＃．在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法；这就是说,对于数域P中任一数k与V中任一元素@,在V中都有唯一的一个元素＄与他们对应,称为k与＠的数量乘积,记为＄＝k＠．如果加法与乘法还满足下述规则,那么V称为数域P上的线性空间．
　　加法满足下面四条规则：
　　1）＠＋＃＝＃＋＠；
　　2）（＠＋＃）＋＄＝＠＋（＃＋＄）
　　3）在V中有一元素O,对于V中任一元素＠都有
　　＠＋O＝＠
　　(具有这个性质的元素O称为零元素)
　　4）对于V中每一个元素＠,都有V中的元素＃,使得
　　＠＋＃=O
　　(＃称为＠的负元)
　　数量乘法满足下面两条规则：
　　5）1＠＝＠；
　　6）k([email protected])=(kl)@.
　　数量乘法和加法满足下面两条规则：
　　7）（k+l）＠＝k＠＋l＠;
　　8）k（＠＋＃）＝k＠＋k＃．
　　在以上规则中,k,l等表示数域P中的任意数；＠,＃,＄等表示集合V中任意元素．
　　设V是实数域R上一线性空间,在V上定义了一个二元实函数,称为内积,记作(@,#),它具有以下性质:
　　1)(@,#)=(#,@);
　　2)([email protected],#)=k(@,#);
　　3)(@+#,$)=(@,$)+(#,$);
　　4)(@,@)>=0,当且仅当@=0时(@,@)=0.
　　这里@,#,$是V中任意的向量,k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间．