已知:用两个边长为3全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD且,把一个含60°的三角尺与这个菱形叠合;如果使三角尺60°的顶点与点A重合,两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕A点按逆时针方向旋转(旋转角小于60°).
(1)当三角尺的两边与菱形的两边BC、CD相交于点E、F.
①BE、CF有何数量关系,并证明你的结论.
②接EF,求△CEF面积的最大值.
(2)连接BD,在旋转过程中三角尺的两边分别与BD相交于点M、N,是否存在以BM、MN、ND为边的直角三角形?若存在,求BM的值;若不存在,请说明理由.
网友回答
解:(1)∵△ABC和△ACD为等边三角形,
∴∠B=∠ACD=60°,∠BAC=60°,AB=AC,
又∵∠EAF=60°,且∠BAE=∠BAC-∠AEC=60°-∠AEC,∠CAF=∠EAF-∠AEC=60°-∠AEC,
∴∠BAE=∠CAF,
又∵在△ABE和△ACF中,
,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴BE=CF;
(2)∵△ABE≌△ACF,
∴S△ACF=S△ABE,AE=AF,
又∵等边△ABC的边长为3,且S四边形AECF=S△AEC+S△ACF,S△ABC=S△AEC+S△ABE,
∴S四边形AECF=S△ABC=×3×=,
∴S△ECF=S四边形AECF-S△AEF=S△ABC-S△AEF=-S△AEF,
又∵∠EAF=60°,AE=AF,
∴△AEF为等边三角形,
∴三角尺运动过程中,当AE⊥BC时,S△AEF最小,S△ECF最大,
∴当AE⊥BC时,AE=,S△AEF=××=,
则S△ECF=-S△AEF═-=;
(3)将△ABM绕点A逆时针旋转120°得到△ADP,其中AM=AP,AB=AD,BM=PD,
∵△ADP≌△ABM,
∴∠PAD=∠BAM,
又∵∠EAF=60°,∠CAD=60°,∠EAC=∠EAF-∠ACF=60°-∠ACF,
∠DAF=∠CAD-∠ACF=60°-∠ACF,
∴∠EAC=∠DAF,
∴∠PAN=∠PAD+∠DAF=∠BAM+∠EAC=∠BAC=60°,
又∵在△AMN和△APN中,
,
∴△AMN≌△APN(SAS),
∴MN=PN,
又∵在△PND中,MN=PN,BM=PD,
∴△PND即为以MN,BM,ND为边的三角形,
易知∠PDN=60°,
所以△PND为直角三角形的情况分为两种:
①∠PND=90°,如图4所示,
∵Rt△PND中,∠PDN=60°且BD=3,
∴ND=PD,PN=PD,
则BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND,即3=PD+PD+PD,
则BM=PD=3-3;
②∠NPD=90°,如图5所示,
∵Rt△PND中,∠PDN=60°且BD=3,
∴ND=2PD,PN=PD,
∴BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND,即3=PD+2PD+PD,
则BM=PD=.
解析分析:(1)①BE=CF,理由为:由三角形ABC与三角形ACD都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到一对角相等,一对边相等,利用等式的性质得到另一对角相等,利用ASA得到三角形ABE与三角形ACF全等,利用全等三角形的对应边相等即可得证;
②由三角形ABE与三角形ACF全等,得到两三角形面积相等,AE=AF,根据等边三角形ABC的边长为3,求出四边形AECF的面积,即为三角形ABC的面积,表示出三角形ECF的面积,当AE垂直于BC时,三角形AEF面积最小时,三角形ECF面积最大,求出此时AE的长,确定此三角形AEF的面积,即可求出三角形ECF面积的最大值;
(2)将△ABM绕点A逆时针旋转120°得到△ADP,其中AM=AP,AB=AD,BM=PD,由三角形ADP全等于三角形ABM,得到对应角∠PAD=∠BAM,再由∠EAF=60°,∠CAD=60°,利用等式的性质得到一对角相等,利用SAS得到三角形ADP与三角形ABM全等,利用全等三角形的对应边相等得到MN=PN,又在△PND中,MN=PN,BM=PD,故△PND即为以MN,BM,ND为边的三角形,易知∠PDN=60°,所以△PND为直角三角形的情况分为两种:①∠PND=90°,如图4所示,求出此时BM的长;②∠NPD=90°,如图5所示,求出此时BM的长即可.
点评:此题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,利用了分类讨论及数形结合的思想,是一道综合性较强的探究题.