设曲线C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的极值；
（II）数列{an}满足a1=e，．求证：数列{an}中不存在成等差数列的三项；
（III）对于曲线C上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，求证：存在唯一的x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f′（x0）．
网友回答
答案:
解：（I），得
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：
∴当时，f（x）取得极大值，没有极小值； …（4分）
（II）∵，∴an+1=2an+e，∴an=e（2n-1）…（6分）
假设数列{an}中存在成等差数列的三项ar，as，at（r＜s＜t），
则2as=ar+at，2e（2s-1）=e（2r-1）+e（2t-1），2s+1=2r+2t，∴2s-r+1=1+2t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2s-r+1为偶数，1+2t-r为奇数，假设不成立
因此，数列{an}中不存在成等差数列的三项 …（8分）
（III）∵f′（x0）=kAB，∴，∴
即，设，，g（x1）是x1的增函数，
∵x1＜x2，∴；，，g（x2）是x2的增函数，
∵x1＜x2，∴，
∴函数在（x1，x2）内有零点x0，…（10分）
又∵，∴，函数在（x1，x2）是增函数，
∴函数在（x1，x2）内有唯一零点x0，命题成立…（12分）
分析：（I）先对函数进行求导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可．
（II）根据递推关系求出数列通项an，假设数列{an}中存在成等差数列的三项ar，as，at，寻求矛盾即可．
（III）假设存在，再进行论证
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及等差数列的性质，属于中档题．