【二重积分的计算】计算二重积分xysin(x y)积分区域x=0y=0x y=π/2

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【答案】 [-x*cos(x+y)]' = x*sin(x+y) - cos(x+y)
　　x*sin(x+y) = cos(x+y) - [x*cos(x+y)]'
　　以上是对 x 求导 的结果.把y暂看作常数.
　　二重积分,可以先把y看作常数,对x进行积分.然后再对y积分.
　　∫∫xysin(x+y) dxdy
　　= ∫y [∫xsin(x+y) dx] dy
　　= ∫y {∫cos(x+y) - [x*cos(x+y)]' dx } dy
　　= ∫y [∫cos(x+y) dx] dy - ∫y ∫[x*cos(x+y)]' dx dy
　　= ∫y sin(x+y) dy - ∫xycos(x+y) dy
　　对于其中第一项,仍然采用分部积分法
　　∫y sin(x+y) dy
　　= ∫ {cos(x+y) - [y*cos(x+y)]' } dy
　　= sin(x+y) - y*cos(x+y)
　　对于第二项
　　∫xycos(x+y) dy
　　= x∫ycos(x+y) dy
　　= x ∫ {[ysin(x+y)]' - sin(x+y) } dy
　　= xysin(x+y) + xcos(x+y)
　　因此 原二重积分结果为
　　sin(x+y) - y*cos(x+y) - xysin(x+y) - xcos(x+y)
　　= (1 -xy)sin(x+y) - (x+y) cos(x+y)
　　（经对x和y求导检验后,上述结果正确）
　　以下限代入
　　= (1 - 0)*sin0 - (0+0)cos0
　　= 0
　　以上限 x+y=π/2 代入
　　= 1 - xy
　　= 1 - x(π/2 - x)
　　= 1 - πx/2 + x^2
　　其中 x ∈[0,π/2]
　　上限 为 x+y = π/2.但 x 和y 本身并非定值.这导致了积分结果依然是一个函数.