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椭圆的参数方程及其应用
蒋明权
大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度,如果适当地引进一点简单的参数方程知识,可以起到拓宽视野,简化平面解析几何的运算的功效.本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用,希望能够给读者一些启迪.
一般都是这样定义的：
椭圆 的参数方程是 （α是参数,）.
特别地,以点（ ）为圆心,半径是r的椭圆的参数方程是 （α是参数,r>0）.
一、求椭圆的内接多边形的周长及面积
例1 求椭圆 的内接矩形的面积及周长的最大值.
如图,设椭圆 的内接矩形在第一象限的顶点是A（ ）（ ）,矩形的面积和周长分别是S、L.
,
当且仅当 时,,,此时α存在.
二、求轨迹
例2 已知点A在椭圆 上运动,点B（0,9）、点M在线段AB上,且 ,试求动点M的轨迹方程.
由题意知B（0,9）,设A（ ）,并且设M（x,y）.
则
,
动点M的轨迹的参数方程是 （α是参数）,
消去参数得 .
三、求函数的最值
例3 设点P（x,y）在椭圆 ,试求点P到直线 的距离d的最大值和最小值.
点P（x,y）在椭圆 上,设点P（ ）（α是参数且 ）,
则 .
当 时,距离d有最小值0,此时椭圆 与直线 相切；当 时,距离d有最大值2.
四、求解有关离心率等入手比较困难的问题
例4 椭圆 与x轴的正向相交于点A,O为坐标原点,若这个椭圆上存在点P,使得OP⊥AP.求该椭圆的离心率e的取值范围.
设椭圆 上的点P的坐标是（ ）（α≠0且α≠π）,A（a,0）.
则 .而OP⊥AP,
于是 ,整理得
解得 （舍去）,或 .
因为 ,所以 .可转化为 ,解得 ,于是 .故离心率e的取值范围是 .