如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及P

网友回答

（1）证明：连接OB．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°．               
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．             
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°．        
∴OB⊥PB．
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线．                           

（2）解：连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．          
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA=．       
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2．                            


解析分析：（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证．
（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，运用三角函数求解．


点评：此题考查了切线的判定、切线长定理、三角函数等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．