如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边AB=6，BC=12，直线y=-x+b与y轴交于点P，与边BC交于点E，与边OA交于点D．
（1）若直线y=-x+b平分矩形ABCO的面积，求b的值；
（2）当直线y=-x+b沿（1）情形下的PFE为始边绕点P顺时针旋转时，与直线AB和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠ANM的情况．若存在，求线段EM的长，若不存在，说明理由；
（3）沿在（1）条件下的直线将矩形ABCO折叠．若点O落在边AB上，求出该点坐标，若不在边AB上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形ABCO沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边AB上．
网友回答
解：（1）因为直线y=-x+b平分矩形ABCO的面积，所以其必过矩形的中心，由题意得矩形的中心坐标为（6，3），
∴3=-×6+b，
解得b=12．
（2）
假设存在直线y=-x+b以PFE为始边绕点P顺时针旋转，
时，与直线AB和x轴分别交于点N、M，且ON平分∠ANM的情况．
①当直线y=-x+12与边AB和OC相交时．
过点O作OQ⊥PM于点Q，
因为ON平分∠ANM，且OA⊥AB，所以OQ=OA=6，由（1）知OP=12，
在Rt△OPQ中，解得∠OPM=30°；
在Rt△OPM中，解得OM=4；
当y=0时，有一x+12=0，解得：x=8，
所以OE=8，
所以ME=8-4
②当直线y=-x+12与直线AB和x轴相交时．
同上可得：ME=8+4（或由OM=MN解得）
（3）
假设沿直线y=-x+12将矩形ABCO折叠，点O落在边AB上O′处．
连接PO′，OO′，则有PO′=OP，
由（1）得AB垂直平分OP，所以PO′=OO′，
则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE＞30°，
所以沿直线y=-x+12将矩形ABCO折叠，点O不可能落在边AB上．
设沿直线y=-x+a将矩形ABCO折叠，点O恰好落在边AB上O′处．
连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a，
则由题意得：AP′=a-6，∠OPE=∠AO′O，
在Rt△OPE中，tan∠OPE=在Rt△OAO′中，tan∠AO′O=，
所以=，即=，
所以AO′=9，
在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a2
解得：a=，
所以将直线y=-x+12沿y轴向下平移单位得直线y=-x+，
将矩形ABCO沿直线y=-x+折叠，点O恰好落在边AB上．
解析分析：（1）根据矩形的性质可知，直线y=-x+b必过矩形的中心，由题意得矩形的中心坐标为（6，3），所以3=-×6+b，解得b=12；（2）假设存在直线y=-x+b以PFE为始边绕点P顺时针旋转时，与直线AB和x轴分别交于点N、M，且ON平分∠ANM的情况．
①当直线y=-x+12与边AB和OC相交时．过点O作OQ⊥PM于点Q，可解ME=8-4；
②当直线y=-x+12与直线AB和x轴相交时．同上可得：ME=8+4（或由OM=MN解得）；
（3）假设沿直线y=-x+12将矩形ABCO折叠，点O落在边AB上O′处．连接PO′，OO′．则有PO′=OP，由（1）得AB垂直平分OP，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE＞30°所以沿直线y=-x+12将矩形ABCO折叠，点O不可能落在边AB上．设沿直线y=-x+a将矩形ABCO折叠，点O恰好落在边AB上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a，则由题意得：AP′=a-6，∠OPE=∠AO′O，Rt△OPE中，=，即=所以AO′=9，在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a2解得：a=，所以将直线y=-x+12沿y轴向下平移单位得直线y=-x+，将矩形ABCO沿直线y=-x+折叠，点O恰好落在边AB上．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．