如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1、x2均为正数,且满足(其中x1>x2),那么称这个方程有“邻近根”.
(1)判断方程是否有“邻近根”,并说明理由;
(2)已知关于x的一元二次方程mx2-(m-1)x-1=0有“邻近根”,求m的取值范围.
网友回答
解:(1)方程有“邻近根”.理由如下:
∵,
∴(x-1)(x-)=0,
∵x1>x2,
∴x1=,x2=1,
这时x1>0,x2>0,且,
∵,
∴满足,
∴方程有“邻近根”;
(2)由已知m≠0且△=(m-1)2-4m×(-1)=(m+1)2≥0,
∴
∴x1=1,或,x2=1,
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有“邻近根”,
∴x1、x2均为正数,
∴m<0
若x1=1,,则,是关于m的正比例函数,
∵-1<0,
∴随m的增大而减小.
当1<-m<2时,
∴-2<m<-1;
若,x2=1,则,是关于m的反比例函数,
∵-1<0,
∴在第二象限,随m的增大而增大.
当时,
∴.…
综上,m的取值范围是-2<m<-1或.
解析分析:(1)先解方程得到x1=,x2=1,则满足,所以可判断方程有“邻近根”;
(2)根据判别式的意义得到m≠0且△=(m-1)2-4m×(-1)=(m+1)2≥0,利用求根公式解得x1=1,或,x2=1,则m<0,然后讨论:
若x1=1,,则,是关于m的正比例函数,根据正比例函数性质得到-2<m<-1;
若,x2=1,则,是关于m的反比例函数,根据反比例函数性质得,最后综合得到m的取值范围.
点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了解一元二次方程和正比例与反比例函数性质.