离散数学关于等价关系的题设R是一个二元关系,设S={|对于某一c,有∈R,且∈R},证明：若R是一个等价关系,则S也是一个等价关系.
网友回答
证明 只需验证如下3个条件,即知 S 也是一个等价关系.设 R 是 A 上的关系,
1）自反性：对任意 a∈A,因∈R,∈R,故 ∈S；
2）传递性：设 ,∈S,则有 d,e∈A,使
∈R,∈R,∈R,∈R,
而 R 具传递性,得
∈R,∈R,
由 S 的定义,得 ∈S,传递性得证.
3）对称性：设 ∈S,则有 c∈A,使
∈R,∈R,
而 R 具传递对称性,得
∈R,∈R,
由 S 的定义,得 ∈S,对称性得证.