【三线合一】数学里〈三线合一〉是什么意思?

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【答案】 定义
　　　　等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合.叫等腰三角形三线合一.
　　　　前提：在三角形中!只要有两条线重合,那这个三角形一定是等腰三角形.
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　　证明
　　　　已知：△ABC为等腰三角形,AD为中线.求证：AD垂直平分BC,BD=DC 等腰三角形ABC(AB=AC).
　　　　∵△ABC为等腰三角形 (已知）
　　　　∴AB=AC(等腰三角形的性质)
　　　　∴∠B=∠C（等边对等角）
　　　　∵AD为中线（已知）
　　　　∴BD=DC（等腰三角形中线为垂直平分线）
　　　　∵AD为公共边
　　　　∴△ADB≌△ADC（S.A.S)
　　　　可得∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）
　　　　∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证）,且∠BDC=180度（平角定义）
　　　　∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
　　　　得证
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　　应用
　　　　1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
　　　　∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
　　　　2.∵AB=AC,AD⊥BD
　　　　∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
　　　　3.∵AB=AC,AD平分∠BAC
　　　　∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
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　　逆定理
　　　　① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形.
　　　　② 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.
　　　　③ 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.
　　　　总而言之：在一个三角形中,一边上的高线与此边上的中线,及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形.
　　　　（注意：其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形,可应用正弦定理,或过此边中点作另外两边垂线.）