【指数函数的导数】指数函数的导数公式怎么推导

网友回答

【答案】 设：指数函数为：y=a^x
　　y'=lim【△x→0】[a^(x+△x)-a^x]/△x
　　y'=lim【△x→0】{(a^x)[(a^(△x)]-a^x}/△x
　　y'=lim【△x→0】(a^x){[(a^(△x)]-1}/△x
　　y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x…………(1)
　　设：[(a^(△x)]-1=M
　　则：△x=log【a】(M+1)
　　因此,有：‘
　　{[(a^(△x)]-1}/△x
　　=M/log【a】(M+1)
　　=1/log【a】[(M+1)^(1/M)]
　　当△x→0时,有M→0
　　故：
　　lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x
　　=lim【M→0】1/log【a】[(M+1)^(1/M)]
　　=1/log【a】e
　　=lna
　　代入(1),有：
　　y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x
　　y'=(a^x)lna
　　证毕.