偏导数有什么用 数学
网友回答
【答案】 笼统来说,导数具有什么作用,偏导数就具有什么作用.
偏导数的功用比导数还要有更多的应用价值.
下面略微详细地解说一下.
一、导数的概念：
在英国,导数喜欢用 differentiation；
在美国,导数喜欢用 derivative.意义上没有差别.
求导：都是 differentiate；
可导、可微：都是 differentiable；
可导性、可微性：都是 differentiability .
导数 dy/dx,在几何图形上,是斜率的意思.是 y 随着 x 的变化而变化的“比率”；
导数 dy/dt,在运动学上,是速度的意思,是 y 随着时间 t 的变化而变化的“比率”；
导数 dx/dt,在运动学上,是速度的意思,是 x 随着时间 t 的变化而变化的“比率”.
dy/dx,读成 d y over dx；dy/dt,读成 d y over d t (d x d y d t 都按字母读)
国内的普遍嗜好是,将 dy/dx 写成 y‘,读成 y prime.
上面是按符号读音,出题时,不是 find the dy/dx,就是 differentiate with respect to x
= 对 x 求导,缩写是 differentiate y w.r.t.x.= 求 y 对 x 的导数.
在中文中,导数有两个含混不清的意思：
1、函数的导函数,这是一个新的函数；
2、函数在某点的斜率的值,或导函数在某点的具体值,是一个具体的数字.
二、偏导数的概念：
前面讲的是一元函数的求导,导数就是函数随着自变量的变化而变化的“变化率”.
dy/dx 是 rate of change of y with respect to x；
dy/dt 是 rate of change of y with respect to t.
通常,我们习惯于将 Rate of change = Related rate of change = 相关变化率
用于对时间 t 求导.
当一个函数有两个或两个以上的各自独立的自变量时,如 u = f(x,y,z),
x,y,z 各自的变化都会引起 u 的变化.
∂u/∂x：表示由于 x 的单独变化所引起的 u 变化率(rate of change)；
在空间几何上,表示 u 沿着 x 方向的导数,也就是斜率；
也就是在平行于 y-z 的所有平面上看函数 u(x,y,z) 随着x变化的规律.
在意义上等同于 dy/dx；
由于有几个自变量,为了与一元函数做出区别,把 dy/dx 写成了 ∂u/∂x；
∂u/∂x 读成 partial u over partial x,整体意义是 partial differentiation w.r.t.x.
对 x 求偏导时,将 y、z 当作常数.
可以理解成局部变化率,部分变化率,也就是只随着一个变量的变化率.
∂u/∂y、∂u/∂z：类推.
三、全导数的概念：
沿着空间任意一个方向(l 方向)的导数,称为全导数 = total differentiation.
它是在 l 方向上 由 x、y、z 一起变化,整体(over all)引起 z 的变化：
dz = (∂u/∂x) dx + (∂u/∂y) dy + (∂u/∂z) dz 这就是全微分的标准形式.
四、偏导数的应用：
偏导数的应用及其广泛,有了上面的共同语言,下面以理想气体状态方程
(State equation of ideal gas)为例说明偏导数的运用.
PV = nRT
P：压强；V：体积；T：绝对温度；这三个都是状态量(State Property).
n：No of moles = 摩尔数；R ：Gas constant = 气体常数.
∂V/∂P ：体积随着压强的变化率；
(1/V)∂V/∂P：> 0 时,是 Expansivity = 体积膨胀率；