已知A、B、C是平面上不共线三点,动点P满足向量OP=1/3[(1-λ)向量OA+(1-λ)向量OB

网友回答

好吧,我来帮你做：
OP=OA+AP,OP=OB+BP,OP=OC+CP
故：3OP=(OA+OB+OC)-(PA+PB+PC)
而：3OP=(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC
=(OA+OB+OC)-λ(OA+OB-2OC)
故：PA+PB+PC=λ(OA+OB-2OC)
取线段AB的中点为D
OA+OB-2OC=2OD-2OC=2CD
而：PA+PB=2PD,即：2PD+PC=2λCD=2λ(PD-PC)
故：2(λ-1)PD=(1+2λ)PC
λ=1时,OP=OC,即：P点与C点重合
λ=-1/2时,2OP=OA+OB,即：P点与D点重合
λ≠1和-1/2时,PD与PC共线,即：C、P、D共线
CD为△ABC的一条中线,故P点定过△ABC的重心
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
设坐标分别为：P(x,y);A(x1,y1);B(x2,y2);C(x3,y3)
则有：x=1/3[(1-λ)x1+(1-λ)x2+(1+2λ)x3=(x1+x2+x3)/3-(x1+x2-2x3)λ/3
y=1/3[(1-λ)y1+(1-λ)y2+(1+2λ)y3=(y1+y2+y3)/3-(y1+y2-2y3)λ/3
将λ消去可得：
y-(y1+y2+y3)/3=(y1+y2-2y3)/(x1+x2-2x3)*[x-(x1+x2+x3)/3]
所以，当x=(x1+x2+x3)/3时，y=(y1+y2+y3)/3。
因此，过重心。