【一阶线性微分方程】一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式怎么理解?

发布时间:2021-03-29 11:18:42

一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式怎么理解? 数学

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【答案】 一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式应用“常数变易法”求解.
  ∵由齐次方程dy/dx+P(x)y=0
  ==>dy/dx=-P(x)y
  ==>dy/y=-P(x)dx
  ==>ln│y│=-∫P(x)dx+ln│C│ (C是积分常数)
  ==>y=Ce^(-∫P(x)dx)
  ∴此齐次方程的通解是y=Ce^(-∫P(x)dx)
  于是,根据常数变易法,设一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的解为
  y=C(x)e^(-∫P(x)dx) (C(x)是关于x的函数)
  代入dy/dx+P(x)y=Q(x),化简整理得
  C'(x)e^(-∫P(x)dx)=Q(x)
  ==>C'(x)=Q(x)e^(∫P(x)dx)
  ==>C(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C (C是积分常数)
  ==>y=C(x)e^(-∫P(x)dx)=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx)
  故一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式是
  y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) (C是积分常数).
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