已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，1），B?（4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴

网友回答

解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，1），B?（4，3），
∴，
解得，
所以，抛物线的函数解析式为y=-x2+x+1；

（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，
∵A（0，1），B?（4，3），
∴OA=1，OC=4，BC=3，
根据勾股定理，OB===5，
∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠OAD=∠BOC，
又∵∠ADO=∠OCB=90°，
∴△AOD∽△OBC，
∴==，
即==，
解得OD=，AD=，
∴BD=OB-OD=5-=，
∴tan∠ABO===；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
则，
解得，
所以，直线AB的解析式为y=x+1，
设点M（a，-a2+a+1），N（a，a+1），
则MN=-a2+a+1-a-1=-a2+4a，
∵四边形MNCB为平行四边形，
∴MN=BC，
∴-a2+4a=3，
整理得，a2-4a+3=0，
解得a1=1，a2=3，
∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=-=，
∴a=1，
∴-12+×1+1=，
∴点M的坐标为（1，）．
解析分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c，即可得解；
（2）过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，根据点A、B的坐标求出OA、OC、BC的长，再利用勾股定理列式求出OB，然后求出△AOD和△OBC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AD、OD然后求出BD，再根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解；
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后根据直线与抛物线的解析式设出点M、N得到坐标并表示出MN，再根据平行四边形对边相等列式方程求解即可．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形的判定与 性质，锐角三角函数，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合性较强，但难度不大，（2）作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，（3）表示出MN的长是解题的关键．