已知抛物线yn=-（x-an）2+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An-1（bn-1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1

网友回答

解：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=-（x-a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0），
∴0=-（0-a1）2+a1，解得a1=1或a1=0．
由已知a1＞0，∴a1=1，
∴y1=-（x-1）2+1．
令y1=0，即-（x-1）2+1=0，解得x=0或x=2，
∴A1（2，0），b1=2．
由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=-（x-a2）2+a2经过点A1（2，0），
∴0=-（2-a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，
∵a1=1，且已知a2＞a1，
∴a2=4，
∴y2=-（x-4）2+4．
∴a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4．

（2）抛物线y2=-（x-4）2+4，令y2=0，即-（x-4）2+4=0，解得x=2或x=6．
∵A1（2，0），
∴A2（6，0）．
由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=-（x-a3）2+a3经过点A2（6，0），
∴0=-（6-a3）2+a3，解得a3=4或a3=9．
∵a2=4，且已知a3＞a2，
∴a3=9，
∴y3=-（x-9）2+9．
∴y3的顶点坐标为（9，9）．
由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），
依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．
∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．


（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），
∴A0A1=2．
yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，即-（x-n2）2+n2=0，
解得x=n2+n或x=n2-n，
∴An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），即An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n．
②存在．
设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=-2k，
∴y=kx-2k．
设直线y=kx-2k与抛物线yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，
联立两式得：kx-2k=-（x-n2）2+n2，整理得：x2+（k-2n2）x+n4-n2-2k=0，
∴x1+x2=2n2-k，x1?x2=n4-n2-2k．
过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x2-x1，
FG=y2-y1=[-（x2-n2）2+n2]-[-（x1-n2）2+n2]=（x1+x2-2n2）（x1-x2）=k（x2-x1）．
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，
即：EF2=（x2-x1）2+[k（x2-x1）]2=（k2+1）（x2-x1）2=（k2+1）[（x1+x2）2-4x1?x2]，
将x1+x2=2n2-k，x1?x2=n4-n2-2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2?（1-k）+k2+8k]，
当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=18，
∴EF=2为定值，
∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x-2．
∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x-2．
解析分析：（1）因为点A0（0，0）在抛物线y1=-（x-a1）2+a1上，可求得a1=1，则y1=-（x-1）2+1；令y1=0，求得A1（2，0），b1=2；再由点A1（2，0）在抛物线y2=-（x-a2）2+a2上，求得a2=4，y2=-（x-4）2+4．
（2）求得y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．
（3）①由A0（0，0），A1（2，0），求得A0A1=2；yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，求得An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），所以An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n；
②设直线解析式为：y=kx-2k，设直线y=kx-2k与抛物线yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，联立两式得一元二次方程，得到x1+x2=2n2-k，x1?x2=n4-n2-2k．然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF2的表述式为：EF2=（k2+1）[4n2?（1-k）+k2+8k]，可见当k=1时，EF2=18为定值．所以满足条件的直线为：y=x-2．

点评：本题考查了二次函数综合题型，考查了二次函数图象上点的坐标特征、顶点坐标、抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法、一次函数、解一元二次方程、根与系数关系、勾股定理等知识点．本题涉及考点众多，计算量比较大，有一点的难度．难点在于第（3）②问，需要灵活运用一元二次方程根与系数关系进行化简与计算．