如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在原点,边AC在x轴的正半轴,AC=16,∠BAC=60°,AB=10,⊙P分别与边AB、AC相切于D、E(切点D、E不在边AB、AC的端点),ED的延长线与CB的延长线相交于点F.
(1)求BC边的长和△ABC的面积;
(2)设AE=x,DF=y,写出y与x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)探索△ADC与△DBF能否相似?若能相似,请求出x的值,同时判断此时⊙P与边BC的位置关系,并证明之;若不能相似,请说明理由;
(4)当⊙P与△ABC内切时,⊙P与边BC相切于G点,请写出切点D、E、G的坐标(不必写出计算过程).
网友回答
解:(1)过B作BG⊥x轴,垂足为G,
在Rt△ABG中∠BAC=60°,AB=10,得到AG=5,
由勾股定理可得BG=5,由于AC=16,可得GC=11,在Rt△BGC中由勾股定理可得BC=14,
(或B(5,)、C(16,0)由距离公式得BC=14)
∴S△ABC=AC?BG=40
(2)在△ABC中,∵⊙P分别与边AB、AC相切于D、E,∴AE=AD,
又∠BAC=60°,可设AE=AD=DE=x,DB=10-x,CE=16-x
过E作EH∥AB交BC于H,在△ABC中,∵EH∥AB
∴即,得EH=
在△FEH中,∵EH∥DB∴
整理得y=-x+(0<x<10)
(3)假如△ADC与△DBF相似,∵∠DBF>∠DCA,又∠DAC=∠BDF=60°
∴只能∠DBF与∠ADC,∠BFD与∠ACD是对应角
∴,=,解得x1=10(舍去),x2=6
当x=6时,⊙P与边BC相切.
证明:当x=6时,求得⊙P的半径r=,
过P作PQ⊥BC,垂足为Q,连接PA、PB、PC,有S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC
即,解得,PQ==r
∴⊙P与边BC相切.
(4)D(3,3),E(6,0),G(,).
解析分析:(1)过B作BG⊥x轴,垂足为G,解Rt△ABG,得BG,AG,再求CG,在Rt△CBG中,运用勾股定理求BC;
(2)由∠BAC=60°,AD,AE为圆的切线可知,△ADE为等边三角形,可设AE=AD=DE=x,DB=10-x,CE=16-x,过E作EH∥AB交BC于H,在△ABC中,由EH∥AB,利用相似比求EH,在△FEH中,由EH∥DB,利用相似比求x、y的关系;
(3)过P作PQ⊥BC,垂足为Q,连接PA、PB、PC,先假如△ADC与△DBF相似,利用相似比求x的值,再求圆的半径;
(4)当⊙P与△ABC内切时,连接AP,由内切圆半径r=求r,在Rt△APE中,解直角三角形求AE,由△ADE为等边三角形,可求D点坐标,由CG=CE,利用相似比求G点坐标.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理及切线的性质的运用.关键是根据图形作平行线,构造相似三角形求解.