发布时间：2019-08-07 21:13:14
要求详细过程
V=∫(-a,a) S(x) dx截面：y^2/[(1-a^2/x^2)b^2] + z^2/[(1-a^2/x^2)c^2]=1因此，截面积S(x)=bc(1-x^2/a^2)π那么，V=∫(-a,a) S(x) dx=∫(-a,a) bc(1-x^2/a^2)π dx=bcπ∫(-a,a) 1-x^2/a^2 dx=bcπ(x-x^3/3a^2) | (-a.a)=[abcπ-abcπ/3]*2=(4/3)abcπ
本题用重积分可以算出，结果是:V＝（4/3）πabc. 我们不去抄书。直观地说明一下： 球x²+y²+z²＝a² 体积V＝（4/3）πa³. 方程改写为：x²/a²＋y²/a²+z²/a²＝1。 把球沿y轴向两侧拉压至b/a倍。体积增至b/a倍，V＝（4/3）πa³×b/a ＝（4/3）πa²b. 而球也变成了椭球x²/a²+y²/b²+z²/a²＝1. 再把此椭球沿z轴向上下拉压至c／a倍.变成了椭球x²/a²+y²/b²+z²/c²＝1. 而体积也再增加至c/a倍，达V＝（4/3）πa²b×c/a＝（4/3）πabc.
V=∫(-a,a) S(x) dx截面：y^2/[(1-a^2/x^2)b^2] + z^2/[(1-a^2/x^2)c^2]=1因此,截面积S(x)=bc(1-x^2/a^2)π那么,V=∫(-a,a) S(x) dx=∫(-a,a) bc(1-x^2/a^2)π dx=bcπ∫(-a,a) 1-x^2/a^2 dx=bcπ(x-x^3/3a^2) | (-a.a)=[abcπ-abcπ/3]*2=(4/3)abcπ
作变换x=arsinucosv,y=brsinusinv,z=crcosu,则J=abcr^2*sinu,椭球体积=8∫＜0,π/2＞du∫＜0,π/2＞dv∫＜0,1＞abcr^2*sinudr=(4π/3)abc∫＜0,π/2＞sinudu=4πabc/3.椭球体积公式是：V=(4π/3)abc