南京师大附中2011届高三学情调研数学试题及答案
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南京师大附中2011届高三学情调研卷数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内。试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内。考试结束后，交回答卷纸。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答卷纸相应位置上。1．记函数 的定义域为A，则 中有 个元素。2．已知 为虚数单位），则 = ．3．某学校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O型的学生中应抽取 人。4．命题“ ”的否定是 。5．已知函数 的图象如图所示，则 = ．6．有五条线段，其长度分别为1，2，4，5，7．现任取两条，则这两条线段的长度之和为偶数的概率是 ．7．设曲线 处的切线与直线 平行，则实数 的值为 ．8．在 中，已知BC=1， , 的面积为 ，则AC的长为 ．9．已知正方形ABCD的四个顶点在椭圆 上，AB∥ 轴，AD过左焦点F，则该椭圆的离心率为 ．10．已知函数 ．若 则 的最大值为 ．11．如图，已知C为 边AB上一点，且,则 = ．12．右图是一个算法的流程图，最后输出的T= ．13．设 是定义在R上的奇函数，且当 时， 已知 则 的大小关系 为 ．（用“ ”连结）14．已知 成等差数列，将其中的两个数交换，得 到的三数依次成等比数列，则 的值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系 中，已知点 其中 ． （1）若 求证： （2）若 求 的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD,CD=2AB,AB 平面PAD，E为PC的中点． （1）求证：BE∥平面PAD; （2）若AD PB，求证：PA 平面ABC D． 17．（本小题满分14分） 某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：吨）与销售价格 （单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示． （1）写出月销售量Q关于销售价格 的函数关系； （2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值． 18．（本小题满分16分） 已知函数 且 ，其中 、 （1）求m的值； （2）求函数 的单调增区间． 19．（本小题满分16分） 已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线 被圆M所截得的弦长为 ，且圆心M在直线 的下方． （1）求圆M的方程； （2）设 若AC,BC是圆M的切线，求 面积的最小值． 20．（本小题满分16分） 已知数列 满足， （1）若数列 是等差数列，求 的值； （2）当 时，求数列 的前n项和 ； （3）若对任意 都有 成立，求 的取值范围．附加题 注意事项： 1．附加题供选修物理的考生使用。 2．本试卷共40分，考试时间30分钟。 3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内。试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。考试结束后，交回答题纸。 21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。请在答卷纸指定区域内作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A．选修4—1：几何证明选讲 如图，AD是 的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB、AC分别交于E，F，求证：EF∥BC。 B．选修4—2：矩阵与变换已知 若矩阵 所对应的变换把直线 变换为自身，求 的值． C．选修4—4：坐标系与参数方程 将参数方程 （t为参数）化为普通方程． D．选修4—5：不等式选讲已知 是正数，求证 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答卷纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22．袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作。 （1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）； （2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率． 23．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面 是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点． （1）求异面直线DC1,B1C所成角的余弦值； （2）求二面角B1—DC—C1的平面角的余弦值． 参考答案 说明： 1．本解答给出的解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，填空题不给中间分数。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。1．2 2．6 3．164 5． 6． 7． 8． 9． 10．711． 12．－2 13． 14．20二、解答题：（本大题共6小题，共计90分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分14分） 解：（1）（方法一） 由题设知 ……………………2分 所以 ……………………6分 因为 所以 故 ……………………7分 （方法二） 因为 所以 ，故 ………………2分 因此 ……………………4分 因为 所以 （2）因为 所以 即 解得 ……………………9分 因为 所以 因此 ……………………12分 从而 ……14分16．（本小题满分14分） 证明：（1）（方法一）取PD中点F，连结EF，AF．因为E是PC的中点，F是PD的中点，所以EF∥CD，且CD=2EF．∥又因为AB∥CD,CD=2AB,所以EF=AB，即四边形ABEF是平行四边形．因此BE∥AF．………………5分又 平面PAD， 平面PAD,所以BE∥平面PAD．………………8分（方法二）延长DA、CB，交于点F，连结PF．因为AB∥CD,CD=2AB,所以B为CF的中点．又因为E为PC的中点，所以BE∥PF．………………5分因为 平面PAD， 平面PAD, 所以BE∥平面PAD．………………8分 （方法三）取CD中点F，连结EF，BF．因为E为PC中点， F为CD中点，所以EF∥PD． 因为 平面PAD， 平面PAD,所以EF∥平面PA D．………………2分因为F为CD中点，所以CD=2FD．∥又CD=2AB,AB∥CD,故AB=FD，即四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD．因为 平面PAD， 平面PAD,所以BF∥平面PAD．因为 平面BEF,所以平面BEF∥平面PA D．………………6分因为 平面BEF，所以BE∥平面PA D．………………8分 （2）因为AB 平面PAD,PA, 平面PAD,所以 ……………………10分因为 所以 平面PA B．………………12分又 平面PAB，所以 因为 故PA 面ABCD．……………………14分17．（本小题满分14分） 解：（1）由题设知，当 时， 当 时， ……………………4分 所以 ……………………6分 （2）月利润为 由（1）可知， ………………9分所以当 时， 当 时， 所以当 时， 取得最大值6．答：该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元。…14分18．（本小题满分16分）解：（1）由题设知，函数 的定义域为 ，………………2分由 得 解得m=1．………………4分 （2）由（1）得 ………6分当 时，由 得 或 此时 的单调增区间为 和（0， ）…………9分当 时， 的单调增区间为 ．………………11分当 时，由 得 此时 的单调增区间为 和（0， ）．………………14分当 时，由 此时 的单调增区间为 ． 综上，当 时， 的单调增区间为 ．和（0，1）；当 时， 的单调增区间为 ；当 时， 的单调增区间为 和 :当 时， 的单调增区间为 ．………………16分19．（本小题满分16分）解：（1）设 由题设知，M到直线 的距离是 …………2分所以 解得 ………………4分因为圆心M在直线 的下方，所以 ，即所求圆M的方程为 ………………6分 （2）当直线AC,BC的斜率都存在，即 时直线AC的斜率 同理直线BC的斜率 ………………8分所以直线AC的方程为 直线BC的方程为 ………………10分解方程组 得…… ……12分所以 因为 所以 所以 ．故当 时， 的面积取最小值 ．………………14分当直线AC，BC的斜率有一个不存在时，即 或 时，易求得 的面积为 ． 综上，当 时， 的面积的最小值为 ．………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）若数列 是等差数列，则 由 得 即 解得， ……………………4分 （2）由 得 两式相减，得 所以数列 是首项为 ，公差为4的等差数．数列 是首项为 ，公差为4的等差数列，由 所以 ……………………6分①当 ……………………8分 ②当 为偶数时，……………………10分 （3）由（2）知， ①当 为奇数时， 由 令 当 解得 ……………………13分②当 为偶数时， 由 令 当 时， 解得 综上， 的取值范围是 ………………16分