求一些对考研数学有帮助不在大纲内的公式。像达布定理之类的。

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达布定理：设函数f(x)在[a,b]区间上可导，若f'+(a)>0,f'-(b)<0,则在(a,b)内至少有一点c,使得f'(c)=0. 这样导函数虽然未必连续，但是却仍具有“介值性”。

证明:

由于 f'+(a)>0，知 lim[f(x)-f(a)]/(x-a)>0, 根据极限的保号性，在a的右邻域内f(x)>f(a). 

这说明f(a)不是最大值,同理，f(b)也不是最大值.

f(x)的最大值只能在(a,b)内部某一点 c 处取得，c 必为极大值点，根据费马定理，f'(c)=0

上述为“零点定理”，如果，当f'+(a)>A,f'-(b)<B（A>B），需要证明f'(c)=C（A>C>B）

那么就设辅助函数g(x)=f(x)-Cx，这里的g(x)与上面的f(x)就一样了，证明就不用说了。

柯西积分不等式：

利用二重积分证明